量子力学中的相位是一种很神奇的存在。在含时哈密顿量中,势场按照确定的时间的周期性函数演化。通过解相应的薛定谔方程可以发现,波函数在含时的哈密顿量的驱动下,完成一个周期的演化之后并没有回到原来的初始状态,而是出现了一个与时间相关的相位,并会产生出可观测的物理效应。几何相位不仅在量子力学中有着重要的作用,而且在物理学其他分支里也有着深远的影响。

AB效应

在经典的电磁学中,直接打交道的是场强,发挥作用并且可以直接测量到的是场强,电磁势是为了解决问题方便所构造出的辅助量。然而在量子力学中,电磁场的标量势与矢量势则可以产生出可观测的物理效应。

在经典的电动力学中场强与势有着这样的关系:

$$ {B} = \nabla \times {A} , \ {E} = - \nabla A_{0} - \frac{1}{c} \frac{\partial {A}}{\partial t} $$

在量子力学中,电子在电磁场中运动的哈密顿量为

$$ H = \frac{1}{2m}[-i \hbar \nabla -\frac{e}{c}{A}(x)]^{2}+eA_{0}(x) $$

对于电磁势A,要应当满足规范不变性。

$$ A_{\mu} \rightarrow A_{\mu}+\partial_{\mu} \varLambda \\ A_{0} \rightarrow A_{0} - \frac{1}{c}\frac{\partial \varLambda}{\partial t} \\ {A} \rightarrow {A} + \nabla \varLambda $$

其中在$\varLambda$是时空坐标的任意函数。在规范变换下,电厂E与磁感应强度B保持不变。即场强与势并不是一一对应的,可以找出若干套势场对应同一场强。

但在量子力学中,出现在哈密顿量中的物理量是势场而不是具体的场强。这就提供了一种让势单独发挥作用的可能。

电子在电磁场中运动的薛定谔方程

$$ i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t } = H \psi $$

哈密顿量中含有在规范变换下不变的电磁势,波函数在规范变换中也应当做出相应的变化:

$$ \psi(x) \rightarrow \psi'(x) = \psi(x) exp[(ie/ \hbar c)\varLambda(x)] $$

在没有电磁场下的自由电子的哈密顿量为$H_{0}=\frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla )^{2}+eA_{0}(x)$波函数为$\psi_{0}$则可以很容易验证在存在电磁场下的波函数$\psi$为

$$ \psi(x)=\psi_{0}(x)exp[(-ie/ \hbar c)\int^{x} A(x')dx'] $$

式子中出现了一个对势的路径积分在相位因子上,这个积分的数值大小显然与路径有关。又因为势具有规范不变性,绝对数值也没有明确的物理意义,路径积分的起点也是可以任意选取的。

当计算两个波函数的相位差时,两个路径积分会相减,当两者的路径不完全相同时,会生成一个环路积分。由电动力学知识可得这个积分实际上时环路所包围的磁通。

$$ \int_{x{_{0}}}^{x}A(x')dx'- \int_{x{_{0}}}^{x}A(x')dx'=\oint_{L}A(x')dx' \\ \oint_{L}A(x')dx'=\int_{s}\nabla \times A \cdot dS = \Phi $$

现在考虑这样一个情景,同一拨电子分成两束绕过一个无限长的螺线管。由于是无限长的路线管,磁通量仅仅会局限在螺线管的内部,在外部不会由B分量,不在在磁感应强度。但在螺线管外部仍会存在着磁矢势${A}$。如果将两束走不同路径导致相位不同的电子进行干涉测量,就会观测到磁矢势所产生的可观测的物理效果。

$$ \psi = \psi _{1} +\psi _{2} $$

当螺线管内磁通量为0时,波函数为

$$ \psi^{0} = \psi^{0} _{1} +\psi^{0} _{2} $$

两束波函数之间没有相位差,但内部存在磁通量时

$$ \psi^{0} = exp[(ie/ \hbar c)\int_{(1)}^{x}A(x')dx']\psi^{0}_{1} + \\ exp[(ie/ \hbar c)\int_{(2)}^{x}A(x')dx']\psi^{0} _{2} = \psi^{0}_{1} + \\ exp[(ie/ \hbar c)\oint_{L}^{x}A(x')dx']\psi^{0} _{2} = \psi^{0}_{1} + \\ e^{(ie/ \hbar c)\Phi} \psi^{0}_{2} $$

会存在这样一个$\frac{e}{\hbar c}\Phi$相位差,通过调控螺线管内的磁通量的大小可以控制相位差的大小,进而可以控制干涉条纹的移动。

从这个现象可以得出这样一个结论,场强不足以决定物理它们是欠定的,电磁势是超定的,规范不变性导致了电磁势中包含有除描述物理之外的冗余信息。

AC效应

两束电子绕过磁通量时会产生AB效应,由于电磁学的中电场与磁场的对偶性,磁矩分两路绕过带线电荷时也会由相应的相位差的效应。虽然电中性的磁矩不会受到线电荷的库伦作用,但两侧不同路径绕过之后仍然会有一个可以观测到的相位差。

$$ S_{AC}= =- \oint \frac{e}{\hbar c} A(r-R)dR =\frac{1}{\hbar c} \frac{e}{\xi}\mu $$

其中$\xi$为线电荷的长度

Berry相

在量子力学问题中一般来说,不含时的、定态的薛定谔方程是比较容易求解的,然而在实际应用中,绝大部分涉及到量子力学的问题的哈密顿量都是含时的,除少数个别特殊情况以外,难以很容易解析求解。

含时问题中可以将力学量分为两类,一类是慢变化力学量,另一类是随时间快速变化的。在解决复杂问题时,可以将这两类力学量分开讨论。先认为慢速变化的力学量不变,解决快速变化的力学量问题,再让慢变化的力学量开始随时间演化,采取这样的方法来简化问题。固体物理中的"波恩-奥本海默近似"就是这样处理的。质子的质量比原子核大一千多倍,原子核的质量就更大了,核外电子的运动速度要远大于原子核的。所以在研究固体中电子运动时,认为原子核是不动的。

$$ H = \frac{P^{2}}{2M} + \frac{p}{2m}+V({R},{r}) $$

其中$P\ R$为变化缓慢的原子核的动量与坐标$p\ r$为变化迅速的电子的动量与坐标。在绝热近似下,原子核近似不动。

$$ h = \frac{p}{2m}+V(R,r) $$

这样一来不用考虑原子核运动对系统的影响,大大简化了问题的复杂度。

现在考虑有一个含时变化的哈密顿量$H(R(t))$,受含时参数$R(t)$的直接控制。

在某一时刻,该哈密顿的本征态与本征值为:

$$ H(R(t))|\psi(R(t))\rangle = E_{m}(R(t))|\psi(R(t))\rangle $$

如果该含时哈密顿量变化足够缓慢,以至于可以认为在任意时刻量子系统都处于同样的本征态上,即不发生能级间的跃迁,任意时刻的瞬时本征态也是正交归一的。

$$ \langle\psi_{m}(R(t))|\psi_{n}(R(t))\rangle = \delta_{mn} $$

当哈密顿量不含时的时候,波函数在哈密顿量的驱动下有一个动力学相位

$$ |\psi(t)\rangle=exp[-\frac{i}{h}\int_{0}^{t}E_{n}(R(t'))dt']|\psi(t)\rangle $$

显然这样的形势带入含时薛定谔方程显然是不成立的。

利用波函数的正交归一性可以这样假设一个符合条件的波函数:

$$ |\psi(t)\rangle=\sum_{m}C_{m}(t)exp[-\frac{i}{h}\int_{0}^{t}E_{n}(R(t'))dt']|\psi_{m}(t)\rangle $$

其中$C_{m}$为组合系数。

在绝热近似条件下,量子态之间不发生跃迁,所以组合系数除与处条件相同的下标外其余全部为0。又由波函数的归一化条件$|C(t)|^{2}=1$。所以这是一个相位因子。所以正确的波函数应该为

$$ |\psi(t)\rangle=e^{i\beta(t)}exp[-\frac{i}{h}\int_{0}^{t}E_{n}(R(t'))dt']|\psi(t)\rangle $$

将这个波函数带入薛定谔方程即可得到该相位满足的条件:

$$ \frac{\partial }{\partial t}\beta(t)=\int_{0}^{t}idt'\langle\psi_{n}(R(t))|\frac{\partial }{\partial t}|\psi_{n}(R(t))\rangle $$

当哈密顿量含时变化呈现周期性,且经过一个周期后哈密顿量回到原来值的情况下,相位中的对时间的积分可以改写成在控制参数R空间中的路径积分

$$ \frac{\partial }{\partial t}\beta(t)=i\oint dR\langle\psi_{n}(R)|\frac{\partial }{\partial R}|\psi_{n}(R)\rangle $$

这样一个相位是与参数空间中的R有关的,利用斯托克是定理,环路积分可以改写成面积分,引入一个量$A_{n}$

$$ A_{n}(R)=i \langle\psi_{n}(R)|\frac{\partial }{\partial R}|\psi_{n}(R) \rangle $$

可以证明$A_{n}(R)$是在规范变换下的不变量

$$ \beta_{n} = \iint_{s} \nabla \times A_{n}(R) \cdot dS = \iint_{s} B_{n} \cdot S $$

其中

$$ B_{n}=\sum_{m \neq n } \frac{\langle \psi_{n}(R)| \nabla H(R)|\psi_{m}(R)\rangle \times \langle \psi_{m}(R)| \nabla H(R)|\psi_{n}(R) \rangle}{(E_{n}(R)-E_{m}(R))^{2}} $$

在波恩奥本海默近似中,如果考虑原子核相关坐标动量的缓慢变化而不是仅仅认为是确定的不变的物理量,并消去电子运动部分可得:

$$ H \Psi=[\frac{P^2}{2M}+\frac{p^2}{2m}+V(R,r)]\Psi =E \Psi \\ [\frac{p^2}{2m}+V(R,r)]|n;R\rangle= \epsilon_{n}|n;R\rangle \\ \Psi(R,r)=\psi(R)|n;R\rangle $$

化简可得

$$ [\frac{1}{2M}({P}-\hbar A)^{2}+V(R)]\psi(R)=E\psi(R)\\ V(R)=\epsilon_{n}(R) + \frac{\hbar^{2}}{2M}(\langle \nabla_{R} n;R | \nabla_{R} n;R - A^{2}) $$

这里$A$出现的位置与形式和AB效应中磁矢势是一样的。

几何相位的实验观测

由量子力学的结论可得,几何相位会产生可观测的物理效应。在实验上观测时,为了构造一个符合绝热条件的哈密顿量,可以采用旋转磁场与磁矩的相互作用。磁矩可以选择不带电的中子磁矩,磁场可以选取一个扭曲螺旋绕的螺线管,使得螺线管产生磁场随着螺线管长度方向以螺线管的轴向为轴旋转。当中子以适当的速度通过螺线管时,会感受到一个随时间变化旋转磁场,当中子运动出螺线管时,磁场绕行一周又回到了开始时的方向。此时波函数产生的相位时

$$ \Phi_{T}= \kappa BT -2 \pi (1- \cos\theta) $$

其中第一项时动力学相位,第二项时几何相位。

这个实验时由T.Bitter 和 D.Dubbers做的,实验利用了核反应堆产生的极化超冷中子。

由于中子是费米子,在实验中需要进行累积测量,误差有些大,可以采用作为玻色子的光子来进行实验,一个玻色子的多次行为可以等效为大量玻色子的一次行为。光子有两个自旋态,但不同于完全由量子力学规律支配运动的微观粒子,光也可以用经典的麦克斯韦电磁理论来解释。

实验装置如图所示,一个螺旋形的光纤,光子沿光纤传播,在光纤传播过程中,波矢的方向在不断变化。这个过程中光子的状态可以用$|\sigma_{z} k(\tau)\rangle$,其中$\sigma$为螺旋度

$$ \sigma = \overrightarrow{S} \cdot \overrightarrow{k} = \pm 1 $$

可以证明,在实验中波矢k的方向变化足够满足绝热条件。

其几何相位为

$$ \gamma_{\sigma}= \oint_{c} \langle \sigma k | \frac{\partial }{\partial k} |\sigma k \rangle d k = - S_{k}\Omega(c) $$

入射光纤的为线偏振光,线偏振光可以分解为两种圆偏振光(两种自旋方向)的叠加

$$ |x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+ \rangle +|- \rangle) $$

在通过螺旋形的光纤时,两种自旋方向分量的相位会发生改变,通过测量光纤出口的偏振方向即可观测到几何相位。

几何相位的一些推广

几何相位中的绝热条件并不是必须的,在非绝热状态下也应该存在着几何相位,在非绝热条件下存在着能级的跃迁与转化,研究起来比较复杂。

波函数在进行一个周期演化后会多出来一个相位:

$$ |\psi (c)\rangle = e^{i \Phi} |\psi (0)\rangle $$

规定波函数可以分为两部分,分为周期性不变部分与可变部分:

$$ |\psi (t)\rangle = e^{if(t)} | \widetilde{\psi} (t)\rangle $$

其中

$$ | \widetilde{\psi} (c)\rangle = | \widetilde{\psi} (0)\rangle \\ f(c) - f(0) = \Phi $$

将分成两部分的波函数带入薛定谔方程可得:

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}| {\psi} (t)\rangle = - \hbar \dot{f}e^{if(t)}| \widetilde{\psi} (t)\rangle + e^{if(t)} \frac{\partial}{\partial t}| \widetilde{\psi} (t)\rangle = H | {\psi} (t)\rangle $$

$$ -\hbar \dot{f} +\langle \widetilde{\psi} (t) |i \hbar \frac{\partial}{\partial t}| \widetilde{\psi} (t)\rangle = \langle {\psi} (t) |H| {\psi} (t)\rangle $$

积分可得

$$ \Phi = f(\tau)-f(0)=\int_{0}^{\tau}dt\langle {\psi} (t) |\frac{H}{\hbar}| {\psi} (t)\rangle + \int_{0}^{\tau}dt\langle \widetilde{\psi} (t) |i \hbar \frac{\partial}{\partial t}| \widetilde{\psi} (t)\rangle $$

从上式中可以看出,前一项式哈密顿量造成的动力学相因子,后一项式几何相位。

现在考虑一个非常简单的情况,一个谐振子系统,哈密顿量不随时间变化,系统在初始时刻处于基态与第一激发态的叠加态上。

$$ E_{n}=(n+\frac{1}{2})\hbar \omega \\ H|\psi_{m}\rangle = E_{m} |\psi_{m}\rangle \\ |\psi(t)\rangle=\sum_{m}C_{m}e^{-iE_{m}t/ \hbar}|\psi_{m}\rangle $$

系统产生的总相位:

$$ \Phi = ln(\sum_{m}|C_{m}|^{2}e^{-iE_{m}t/ \hbar}) $$

初状态时:

$$ |\psi(0)\rangle = \cos \frac{\theta}{2}|\psi_{0}\rangle + \sin \frac{\theta}{2}|\psi_{1}\rangle $$

$$ |\psi(t)\rangle = \cos \frac{\theta}{2}e^{-i\frac{1}{2}\hbar \omega t}|\psi_{0}\rangle + \sin \frac{\theta}{2}e^{-i\frac{3}{2}\hbar \omega t}|\psi_{1}\rangle $$

当经过时间$t=\frac{2\pi}{\omega}$时间后,波函数反相

$$ |\psi(t)\rangle = - |\psi(0)\rangle $$

此时的总相位差为$\pi$

动力学相位

$$ \alpha (t)= |\cos \frac{\theta}{2}|^{2} \pi + |\sin \frac{\theta}{2}|^{2} 3\pi = \pi \cos \theta $$

总相位减去动力学相位即可得到几何相位:

$$ \beta=\Phi - \alpha = \pi (1-cos \theta) $$

从上式可以看出来,具体的几何相位与两个态的叠加程度有关,如果没有叠加,几何相位将是0,如果时相等的$\frac{1}{2}$叠加,几何相位取最大值。